Bayesian 初见

贝叶斯定理 Bayesian Theorem

当$Pr(A\mid B)$不便求解，但是$Pr(B\mid A)$容易求解时，可以使用贝叶斯定理来帮助进行求解：

$$Pr(A\mid B) = \frac{Pr(B\mid A)Pr(A)}{Pr(B)}$$

贝叶斯网络 Bayesian Network

攻击图 + 联合条件概率

后验概率

一个有意思的问题是当已经检测到结点A被攻击了之后，结点C遭受攻击的可能性？

这就可以通过这样的方式进行计算：

$$Pr(C\mid A)=\frac{Pr(A\mid C)Pr(C)}{Pr(A)}$$

其中$Pr(A)$和$Pr(C)$都可以基于贝叶斯网络进行计算，而$Pr(A\mid C)$可以按照如下方式进行推导：

$$Pr(A\mid C)=Pr(A,B=T\mid C)+Pr(A,B=F\mid C)$$ $$=\frac{Pr(A,B=T,C)}{Pr(C)}+\frac{Pr(A,B=F,C)}{Pr(C)}$$ $$=\frac{Pr(A,B=T,C)}{Pr(B=T\mid C)}*\frac{Pr(B=T\mid C)}{Pr(C)}+\frac{Pr(A,B=F,C)}{Pr(B=F\mid C)}*\frac{Pr(B=F\mid C)}{Pr(C)}$$ $$=Pr(A\mid B=T,C)*Pr(B=T\mid C)+Pr(A\mid B=F,C)*Pr(B=F\mid C)$$ $$=\sum_{B\in {T, F}}{Pr(A\mid B,C)*Pr(B\mid C)}$$